ガスコン研究所BLOG

問題：ある駅前の土地が競売によって売り出されることになった。競売の方法は以下の通り。

買い手は自分の買い値を紙に記入して、それを秘密にしたまま、入札箱に投入するものとする。買い手が入札を終えた後、売り手は入札箱を開けて一番高い値をつけた買い手に、その人がつけた買い値でこの土地を売ることにする。一番高い買い値をつけた買い手が複数いる場合は、その中から公平なくじ引きで選ばれた１人に売ることにする。

Ａ氏は、この土地を用いた事業を行うことで５億円の利益が得られるとする。つまり、競売に参加してＸ億円で土地を買うことができたとすると、Ａ氏の利益は５－Ｘ億円になる。土地を変えなかった場合は、事業の利益も土地購入代も発生しないので、Ａ氏の利益は０円と考える。

この競売に、Ａ氏の他にもう一人の買い手（Ｂ氏）が参加しているとする。買い値は、１億円単位でつけなければいけないものとする。Ｂ氏のつける買い値をＹ億円とし、Ｙは１から１０までの整数を等しい確率でとるものとする。

利益の期待値を最大にするためには、Ａ氏はいくらの買い値をつければ良いか。

※2010年東京大学（後期）総合科目II問題

この土地が生みだす利益は５億円なので、５億円で落札しても利益は「０円」。利益を生む入札額は「１～４億円」となるが、相手より額が大きくなければ落札できない。さて、もっとも利益を期待できる入札額は……。

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今回は、東大入学率日本一、数学オリンピックでも数多くのメダリストを輩出しているという、筑波大学付属駒場高校（筑駒）の入試問題に挑戦「たけしのコマ大数学科」

問題：1辺の長さが12cmの立方体の容器に11cmの深さまで水が入っています。この容器には、ふたがついていて回転しても水はこぼれないものとします。点Gを通り、4点A,E,G,Cを含む平面に垂直な直線を「l」とし、lを軸として容器を回転します。点Eが水面上に来るとき、水面の面積を求めなさい。
※筑波大学付属駒場高校入試問題

ｌを軸として回転させるとき、右回りと左回りが考えられるが、中村亨センセから「今回は、向かって右回りで考えてほしい」との注釈がついた。

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トリコロールといえば、フランス国旗。青は自由、白は平等、赤は博愛という意味があるらしい。床屋さんの店先でくるくる回る看板燈も、青、白、赤のトリコロールだが、赤は血管の動脈、青は静脈、白は包帯を表しているという。いったい、今回はどんな問題なの「たけしのコマ大数学科」。

問題：赤色の島、青色の島、黄色の島がそれぞれちょうど3つずつある。これらの島に次の2条件を満たすようにいくつかの橋を架ける。

条件(1)：どの2つの島も、1本の橋で結ばれているか、結ばれていないかのいずれかであって、橋の両端は相異なる2つの島に繋がっている。

条件(2)：同色の2つの島を選ぶと、その2つの島は橋で直接結ばれておらず、その2つの島の両方と直接結ばれている島も存在しない。

橋の掛け方は何通りあるか。ただし、1本も橋をかけない場合も1通りと数える。

※2010年 日本数学オリンピック予選問題

たぶん、問題解決には役に立たないだろうけれど、いちおうFlashを作成した。島と島をクリックすると橋（線）で結ばれる。問題は、橋を何本架けられるかではなく、何通りの架け方があるかなので注意してね。また、爺の趣向で島の色は勝手に変えさせてもらったよ＾＾；

“■コマ大数学科182講：トリコロール” の続きを読む

GCDとは「Ganbare Coma Dai」の略ではなく、「Greatest Common Divisor」の頭文字をとったもので、最大公約数の意味だよ～ん「たけしのコマ大数学科」

問題：各桁の数字が相異な、どれも０でないような3桁の正の整数ｎがある。ｎの各数字を並べてできる６つの数の最大公約数をｇとする。ｇとして考えられる最大の値を求めよ。
※2010年 日本数学オリンピック予選問題

いい加減な爺の作ったFlashでは、同じ数字を使っちゃダメとゆーのをチェックしていない。最大公約数を求める作業をFlashにやらせちゃうと、すぐに答えがわかっちゃうけれど、どーしてそーなるのか、法則を考えてね。

“■コマ大数学科181講：ＧＣＤ” の続きを読む

ひさびさに「熱血！平成教育学院」マス北野の算数の問題。地震が起きて、壁に掛けてあった時計が落ちて、マス北野の頭に当たり、マス北野は気絶してしまった＾＾；　気がついて、落ちている時計を見ると文字盤に数字がないので、正確な時間がわからない。さて、何時何分でしょう？　という問題。

爺なら、時計の裏を見て、壁掛け用の穴やフックがある方向が12時の方向と考えるとゆーか、もう一度、壁に掛け直せばわかる……って、そーゆー問題ではない＾＾；　これは、那須高原海城中学校の入試問題。日能研に通う小学生35％が正解した問題だよ。

“■熱血！平成教育学院：マス北野の算数” の続きを読む

「のび太のくせに生意気だぞ～」というのは、スネオの法則（by戸部アナ）。今回の「スネルの法則」は、光の屈折に関する法則ということなのだが…「たけしのコマ大数学科」

問題：1辺が10ｍの正方形のプールの1つの角に監視員がいます。この監視員が水中を秒速1ｍ、プールサイドを秒速2ｍで移動する場合、この監視員がプールのどこへでも到達しうるには最短で何秒必要でしょうか。
※2006年度　東京工業大学　数学1教科によるAO(Admissions Office)型入試問題（一芸入試問題）。

【遊び方】黄色い丸が溺れている人（到達点）。監視員がプールサイドを移動するには、時計回り（オレンジ）と反時計回り（グリーン）とした。初めに黄色い丸（到達点）の位置をドラッグ＆ドロップして決める。次にオレンジと、グリーンの矢印を動かし、プールに飛び込む位置を決めてほしい。「Start」ボタンを押すと、到達点までの時間を計測する。

“■コマ大数学科180講：スネルの法則” の続きを読む

結城浩さんが「数学ガール フェルマーの最終定理」を書かれていた頃、「フェルマーはガスコンかも」というメールを頂いたことがある。諸説あるそうだが、フェルマーは、「南フランスのトゥールーズ近くのボーモン・ド・ロマーニュに生まれる」とある。つまり、ガスコン（ガスコーニュ地方出身者の総称）かもしれない。でも、「ガスコン研究所」はフランスと縁もゆかりもない。ガスコンには「大法螺吹き」という意味の使われ方もあるんだよね。そんなガスコン爺の「たけしのコマ大数学科」

要するに、コンパスと目盛のない定規（定木）だけで正五角形を描きなさいという作図問題。

【遊び方】先に「Circle」または「Line」を選んで、ドラッグ開始点とドロップアウトした点の円や直線を描く。「Dividers」を選ぶと、始点をクリックするだけで、直前に描いた円と同じ半径の円を描く。

“■コマ大数学科179講：フェルマー素数” の続きを読む

先日、爺は、ケーブルテレビの「TBSチャンネルHD」で「ドラゴン桜」の第1話～最終話まで、ぶっ通しで見てしまった。木村美紀も東大構内でほんのちらっと出演していた＾＾；「たけしのコマ大数学科」

問題：正2010角形の異なる3頂点A,B,Cの組のうち、三角形ABCの内角がすべて整数度となるものの個数を求めなさい（ただし、ABCを並べ替えただけの組は同じとみなします）。
※2010年 数学オリンピック予選問題

まず、問題を理解するために上のFlashを用意した。正24角形のそれぞれの頂点を結んで三角形を作るとき、すべての内角が整数になる場合と、いずれかの内角が小数になってしまう場合があるよね（正24角形を例に選んだのは、意味はなく、問題とは関係ないからね＾＾；）。では、いったい正2010角形の場合、すべての内角が整数度となる三角形はいくつ出来るのだろうか？

“■コマ大数学科178講：正2010角形” の続きを読む

フランス、カルティエ現代美術財団の、北野 武/ビートたけし展「Gosse de peintre – 絵描き小僧」は、とても好評のようで、2010年3月11日～9月21日まで会期が延長されたよ「たけしのコマ大数学科」

問題：赤と黒のカードがランダムに裏返して13枚並べてあります。カードを5回めくって等間隔に並ぶ3枚のカードを見つけるには、どのようにめくれば良いでしょうか？

【遊び方】伏せられたカードをクリックして、カードをめくる。クリック5回以内に赤または黒のカードが等間隔に並べばオーケー。

問題文を読んで、配られた（伏せられた）カードの中に「赤のカード、黒のカードは何枚あるの？」と素朴な疑問を持った人がいるかもしれない。じつは、そんなことはカンケーないのら（実際に上のFlashは、ランダムに「赤」か「黒」のカードかを決めているだけ）。配られたカードの「赤」や「黒」の枚数は、本質的なことではなく、それにも関わらず、「必ず」、赤または黒のカードが等間隔で並ぶような選択（カードの開け方）があるということ＾＾；　その方法を考えてね。

“■コマ大数学科177講：Le Rouge et le Noir（赤と黒)” の続きを読む