■コマ大数学科182講：トリコロール

トリコロールといえば、フランス国旗。青は自由、白は平等、赤は博愛という意味があるらしい。床屋さんの店先でくるくる回る看板燈も、青、白、赤のトリコロールだが、赤は血管の動脈、青は静脈、白は包帯を表しているという。いったい、今回はどんな問題なの「たけしのコマ大数学科」。

問題：赤色の島、青色の島、黄色の島がそれぞれちょうど3つずつある。これらの島に次の2条件を満たすようにいくつかの橋を架ける。

条件(1)：どの2つの島も、1本の橋で結ばれているか、結ばれていないかのいずれかであって、橋の両端は相異なる2つの島に繋がっている。

条件(2)：同色の2つの島を選ぶと、その2つの島は橋で直接結ばれておらず、その2つの島の両方と直接結ばれている島も存在しない。

橋の掛け方は何通りあるか。ただし、1本も橋をかけない場合も1通りと数える。

※2010年 日本数学オリンピック予選問題

たぶん、問題解決には役に立たないだろうけれど、いちおうFlashを作成した。島と島をクリックすると橋（線）で結ばれる。問題は、橋を何本架けられるかではなく、何通りの架け方があるかなので注意してね。また、爺の趣向で島の色は勝手に変えさせてもらったよ＾＾；

問題を解くにあたって、条件を把握（理解）しておく必要がある……。

条件(1)：どの2つの島も、1本の端で結ばれているか、結ばれていないかのいずれかであって、橋の両端は相異なる2つの島に繋がっている。

任意の2つの島に2本の橋を架けるのダメ。また、2つの島に繋がっていない橋も認めない。とゆーのは、１つの島から途中まで伸ばした橋（工事中？）や、1つの島（自分自身）に繋げるような橋もダメだ。条件(1)では、島の色には言及していないので、たとえば、赤い島と赤い島（2つの島）を結ぶ橋も含まれるわけだ。そこで、条件(2)が必要になる。

条件(2)：同色の2つの島を選ぶと、その2つの島は橋で直接結ばれておらず、その2つの島の両方と直接結ばれている島も存在しない。

これは、同じ色の2つの島に橋を架けてはダメ。もうひとつは、たとえば、1つの島（緑）から、同色の2つ島（赤）に2本の橋を架けてはいけないとゆーこと。

以上の条件を踏まえた上で、可能な橋の架け方が何通りあるか考えよう＾＾；

●コマ大数学研究会の検証

「スパリゾートハワイアンズ」といえば、映画「フラガール」の原点とも言える。いつもは、罰ゲームなど過酷なコマ大数学研究会だが、今回は、天国のような、3本撮りロケの3回目。フラガールたちと、ポリネシアンの「ファイアーショー」の男性ダンサーたちを３×３の位置に並べ、手を繋ぐ（橋を架ける）として検証。入れ替わり、位置を変え、コマ大数学研究会の検証結果は、「34通り」。

●マス北野＆ポヌさんの解法

問題を単純化するため、2色の島の場合で橋の架け方が何通りあるか調べた。

ポヌさんによると、これらをすべて足した数(1+27+9+(3*3))=46 答えは「46通り」となった。

●小橋りささん＆岡本麻希さんの解法

竹内センセから「3色だと大変なので2色の場合を考える」というヒントで、ポヌさんと同じように2色の島の場合の橋の架け方を考えたが、数が膨大になってしまい、制限時間内では数え上げられない事態に……。

結局、東大生チームの答えは「2278」通り。

正解は「39304通り」。全員不正解。

●竹内薫センセの「美しき数学の時間」

前述したが、問題を単純化するために、2色の島がそれぞれ3つある場合を考える（例は赤と青の場合）。橋が「0本の場合」も1通りと数える。橋が「1本の場合」は、赤の島が3通り、青の島が3通りなので、3×3＝9通りある。

橋が2つの場合は、橋が架るのは、3つ島のうち、2つを選ぶことになるので、「Combin(3,2)＝3」、3×3としたくなるが、それぞれの色の3つ島から2つを選んで、橋を架ける場合、2通りの架け方があるので、3×3×2通りとなるのが、ポイント。3×3×2＝18通り。

橋が3つの場合は、橋の一方（色）の島は固定し、繋がる相手（色）の島を3つの中から選ぶことになるので、その組み合わせは、3！＝(3×2×1)＝6通りになる。

赤の島と青の島に可能な橋の架け方は、すべてを足した（1+9+18+6）で34通り。青と緑、緑と赤も同様に考えると、34×34×34＝39304通りと求まる。

ちょっといい話は、光の三原色（Red,Green,Blue）について。パソコンのモニターなどは、この3つの色を組み合わせ、各色を0～255の256段階で表し、R(256)×G(256)×B(256)＝RGB（約1600万色）を表現している。

各色の(0～255)は、16進数(0～FF)の8ビットで表すことができるから、8×3＝24ビットカラーと呼ばれる。これにアルファチャンネル（透過度）を加えた、32ビットカラ―も使われている。ちなみに「色の三原色」は、C（シアン）、M（マゼンタ）、Y（イエロー）で、印刷物には、これに黒を加えた「CMYK」が一般的だ。

竹内センセの話は、R軸,G軸,B軸の直交座標と考えると、色は、3次元空間の特定の位置（3次元のベクトル空間）として表すことができるという話。

たとえば、X=aR+bG+cBという色と、Y=a’R+b’G+c’Bを混ぜる（合成する）と、X+Y=(a+a’)R+(b+b’)G+(c+c’)Bとできるわけね。

量子力学で有名な、エルヴィン・シュレディンガーも論文を発表しているらしい。

では、光の三原色は、他の色では作ることができないのか。たとえば、赤(R)と青(B)、黄(Y)から、緑(G)は作れないのか。結果は「作れない」わけだが、そーでなければ「光の三原色」とは言わない＾＾；

しかし、緑にちょっと赤を混ぜた色は、青と黄を混ぜた色になる。

「G+aR=bB+cY」というわけだが、これを移項すると、「G=-aR+bB+cY」となる。数学的にはあり得るが、現実には、マイナスの係数を持つ色はないので、人間の眼に捉えることのできる色としては、表現できない；；

コンピュータの世界でも、たとえば、Flashの「colorTransform」では、現在の色に特定の色、たとえばRの値を「-255～255」の範囲で加算（減算）できる。だから、計算の結果が負になっちゃうこともあるのら（もちろん、負の値のRGBは表示できないよ）。

●爺のどーでもいい話

番組では触れられていなかったが、SHARPのAQUOS「クアトロン3D」が発表され、今年の夏には、発売されるもよう。「トリニトロン」がRGBの3極放電管をひとつにまとめたものであったのに対し、「クアトロン」は、RGBYの4色を使った液晶だ。SHARPのホームページを見ると「テレビは50年間3原色でした」という、テクノロジー・イノベーションを謳うキャッチコピーが目を惹く。あくまで、従来のRGBにY（黄色）を加え、色の再現性を高めたということね。

※たけしのコマ大数学科の「過去問題」はこちらから。
■コマ大数学科：2009年度全講義リスト
■コマ大数学科：2008年度全講義リスト
■コマネチ大学数学科：2007年度全講義リスト
■コマネチ大学数学科：2006年度全講義リスト

■コマ大数学科DVD-BOXガイド

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