■コマ大数学科183講：未来の東大生に挑戦

今回は、東大入学率日本一、数学オリンピックでも数多くのメダリストを輩出しているという、筑波大学付属駒場高校（筑駒）の入試問題に挑戦「たけしのコマ大数学科」

問題：1辺の長さが12cmの立方体の容器に11cmの深さまで水が入っています。この容器には、ふたがついていて回転しても水はこぼれないものとします。点Gを通り、4点A,E,G,Cを含む平面に垂直な直線を「l」とし、lを軸として容器を回転します。点Eが水面上に来るとき、水面の面積を求めなさい。
※筑波大学付属駒場高校入試問題

ｌを軸として回転させるとき、右回りと左回りが考えられるが、中村亨センセから「今回は、向かって右回りで考えてほしい」との注釈がついた。

番組では、文科省が指定する「スーパーサイエンスハイスクール（SSH)」（平成21年度現在）と紹介されたけれど、平成22年度から5年間の指定校に「筑駒」は入っていない。平成21年度は全国で指定校は106校、平成22年度から指定校は125校に増えている。ま、そんなことはどーでもいい。

●コマ大数学研究会の検証

「未来の東大生に挑戦～♪」とゆーわけで、やって来ました「筑駒数学研究会」。中学1年から高校2年までの約20名が在籍しているとのこと。漢字は得意だがカメラ慣れしていないという、漢字番長ことガンビーノ小林が先陣を切って乗り込むが、部員たちには無視される＾＾；　そこへ筑駒OGの小橋りささんも登場。和気あいあいとなったところで、筑駒数学研究会の面々に今回の問題に挑戦してもらった。正解者が続出したが、突然、ダンカンが怒る「美しい数学っていうのは、汗をかかなきゃダメなんだよ！」

コマ大生の検証方法は、一辺が12cmの透明なアクリル板で作った立方体の容器に、水ではなく、歯形をとるときの「印象材」を使用して固めるというもの。番組ではお馴染み、ダンカンのお友達、歯科医のDrコバに協力してもらい検証開始。印象材は2～3分で固まってしまうため、失敗が許されない一発勝負。

スタジオで、立方体の断面を計測して、11cm×13cm÷2、求めた答えは「71.5平方cm」

●マス北野＆ポヌさんの解法

マス北野は直感的に下の図のような形を思い浮かべたようだ。

1辺が12cmの立方体の容器に11cmまで水を入れたときは、空気の体積が12×12×1で144立方cm、容器を傾けてもこの空気の体積は変わらないから、144立方cm＝立方体の上面の面積（144平方cm）×高さ(h)÷2となり、高さ(h)は、2cmと求まる。この空間をｌ軸の方向から眺めると、三平方の定理により、斜辺の長さ（ひし形の対角線のひとつ）を求めることができる。ひし形のもうひとつの対角線は12√2なので、ひし形の面積＝対角線(2√73)×対角線（12√2）÷2＝12√146

マス北野＆ポヌさんの答え「12√146」平方cm

●衛藤樹さん＆伊藤理恵さんの解法

立方体の容器を回転させたとき、AI=AJとなるので、図のように、xをおく。
体積＝(1/2)*12*x*x*(1/3)=2*x^2=144
x^2=72
x=6√2
EJ^2=x^2+12^2
EJ=6√6
EH=6√5
△EJI=(1/2)*12*6√5=36√5

東大生の答え「36√5」平方cm

●中村亨センセの「美しき数学の時間」

正解は、東大生チームの「36√5」平方cmだが、lを軸としてさらに回転させると、マス北野の形になり、「12√146」平方cmにもなる。

上部の空間の体積は、12*12*1=12^2立方cm
対称性から上部の空間は、直角二等辺三角形を底面とする高さ12cmの三角錐になる。

さらに回転させると……。

上部の空間の体積は変わらないが、マス北野が考えたように「ひし形」になる。対角線HFより、左側に部分と右側の部分を重ねると……。

二等辺三角形を底面とする、高さ2hの三角柱になる。

爺が妄想するに、たぶん中村センセの「美しき数学の時間」では、さらに回転させると、別解があるよ……としたかったのだろうが、マス北野が直感で、その別解を解いてしまった……というところだろうか＾＾；　今回は、始めに中村センセから「lを軸に向かって右側に回転させてください」とあったので、東大生チームが正解。コマ大フィールズ賞を獲得した。

※たけしのコマ大数学科の「過去問題」はこちらから。
■コマ大数学科：2009年度全講義リスト
■コマ大数学科：2008年度全講義リスト
■コマネチ大学数学科：2007年度全講義リスト
■コマネチ大学数学科：2006年度全講義リスト

■コマ大数学科DVD-BOXガイド

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