カテゴリー: コマネチ大学数学科

テレビドラマ「僕の歩く道」のオープニングで毎回、草ナギ剛君が自転車に乗っているシーンが流れるんだけど、草ナギ君が「ムラタセイサク君」に見えてしまうのは、私だけ……？「たけしのコマネチ大学数学科」第30講：ディオファントス。

今回の問題は「立方体で直方体を作り、外側の面に色をつけたとき、色がついた面とついていない面の数が同じになるのは、どのような直方体か答えなさい」。

図に提示してある、横幅(X)2、高さ(Y)2、奥行(Z)2の場合も、色のついた面と色のついていない面の数が同じになる。問題はこれ以外の組み合わせを答えることになる。

コマ大数学研究会のように豆腐やサイコロステーキで検証するのは大変なので、エクセルの表を作成した。「Excel」がインストールされているパソコンならば「comaneci30.xls」をクリックして「開く」ボタンを押してほしい。

「ディオファントス」は、古代ギリシャの数学者。未知数が2以上ある方程式の整数解を求めるものを「ディオファントス方程式」と呼ぶらしい。

答えは、2通りある。コマ大数学研究会は、残念ながら1通りの答えしか見つけられなかった。東大生、マス北野とも正解。コマネチフィールズ賞は、マス北野が辞退し、東大生コンビが受賞した。

「ディオファントスの墓碑」問題(引用：Wikipedia)

ディオファントスの人生は、6分の1が少年期、12分の1が青年期であり、その後に人生の7分の1が経って結婚し、結婚して5年で子供に恵まれた。ところがその子はディオファントスの一生の半分しか生きずに世を去った。自分の子を失って4年後にディオファントスも亡くなった。

ディオファントスがχ歳に亡くなったとすると、

これを解くと、χ＝84となる。結局、ディオファントスは84歳で亡くなったらしい。

　頭の中でカタラン数が「カタラン、ワカラン」と音を立てている。仕事をしなければならないのだが、このままでは気になってしょうがない。そこで、頭の中を整理する意味で、エクセルの表にしてみた。

　EXCELがインストールされているパソコンならば、「comaneci29.xls」をクリックし、「開く」を実行してみてほしい。

　問題を解くためには、できるだけ問題を単純化して、それを一般化する手法を取る。

　「P」とか「C」とか、わからない記号が出てきたが、これは数学のお約束ごと。数学が難しく感じたり、理解不能と思えるのは、誰かに教えてもらわないと一生わからない記号（お約束）が多いことなんだよね。

　その点、この問題を解くのに参考にした、結城 浩さんの「プログラマの数学」という本は、数学が苦手な人にも、きちんと記号の意味を説明をしてくれている。優しさは（理解の）易しさにもつながるのだ。

　これで、エクセルの表の「人数」に「10」と入力すれば、正解が出るのだけれど、今回のテーマは「カタラン数」なので、カタラン数とはどういうものか……。

2007年3月9日追記：図の間違いを修正；；

　パスカルの三角形を半分にしたような形なのだが、この表に表れる「1、1、2、5、14」という数の並びが「カタラン数」と言うらしい。今回の問題の2人、4人、6人、8人の場合のカップル(握手成立)数になっているのだ。

　マス北野が短時間で正解に辿り着いたのは、(2＋5)の2倍が、次の数字「14」になることに気づいたからだ。
つまり、(2＋5＋14)×2が、10人の場合の答えになると考えた。マス北野のこういった法則を見つける能力というか、数学的な直観力は「さすが」だよね。

今回は江戸時代の数学書「塵劫記」に出てくる「百五減算」という算術の問題。

ある人の年齢を 3、5、7 でそれぞれ割った余りがそれぞれ 1、2、3 になるとき、その人の年齢はいくつでしょうか？

で、さっそく私も「エクセル」で「百五減算」を作ってみた。「塵劫記」や「百五減算」は、Wikipediaに詳しい解説が載っているので、そちらを参照してほしい。

※ガダルカナル・タカさんの場合

ポイントは、3、5、7の最小公倍数が105になること。エクセルでは「=LCM(3,5,7)」とすれば、簡単に求めることができる。もっとも、3、5、7は素数なので、3×5×7＝105ということだ。

で、105をそれぞれ3、5、7で割ると、35、21、15になる。求める数（年齢）を「n」とし、3、5、7それぞれの数で割った余りを、a、b、cとすると、
百五減算の公式は、
n=70a+21b+15c-105k となる。（kは、ｎが105よりも大きいとき、何回が引くという意味）

番組を見ていて、一番ひっかかったのは、なぜ「35」だけを2倍して「70」にするかだろう。ちゃんと竹内センセは解説をしてくれているのだが、こちらの理解力が足らず、モヤモヤした感じが残った。

これは実際に「=mod(35,3)」としてみるとわかる。「35」を「3」で割ると、余りが「2」になる。

つまり、こーゆーことだ。
70は、5と7で割り切れるが、3で割ると1余る数
21は、3と7で割り切れるが、5で割ると1余る数
15は、3と5で割り切れるが、7で割ると1余る数
105は、3でも5でも7でも割り切れる数（最小公倍数）

番組では、全員が正解した。しかし、納得がいかないのは「コマネチ・フィールズ賞」をコマ大数学研究会が取ったこと。東大生チームは、ちゃんと数式を立てて解き、条件を満たす数として、52、157、262を出した。そこで、コマ大のロケで問題と同じ余りが「1、2、3」になった番組プロデューサの「吉田さん」が、157歳や、262歳はありえないから、「52歳」という答えだった。これを「最終的には見た目」と判断されたが、これが現実的な答えだ。百五減算だって、江戸時代105歳を超える長寿の人はいなかったろうから、105を引いているわけで、その点では同じだと思う。

私はコマ大数学研究会を応援しているが、今回の竹内裁定には疑問が残る。マス北野も「こういう情けが番組の視聴率を下げる」と発言していた。

でも、今回は全員正解の引き分けなので、オープニングの
ダンカン「倍数の例を挙げてください」
ガンビーノ小林「9は3の倍数」
〆さばアタル「25は5の倍数」
無法松「501はリーバイス」
という、久々のヒットで「フィールズ賞」をもらったと考えれば納得。コマ大、ファイト、ファイト、ファイト！！