■コマ大数学科149講：アポロニウスの円

楕円、半円、叙々苑…「たけしのコマ大数学科」

問題：図のような３つの円すべてに接する円は何種類あるでしょうか？

　コマ大数学研究会は、秋葉原のイベント会場、爺はまったく知らないけれど、天然不思議系アイドル「若木萌」ちゃんの撮影会に潜入。ここで、何をするかと思えば、撮影会だけに、今回はカメラで検証。３つの円を描いた「たらい」に水を張り、スポイトで水滴を垂らし、その波紋が３つの円に接したところを撮影する作戦。

　決定的シャッターチャンスをものにし、スタジオでは、２種類の写真が紹介された。コマ大生の答えは「２通り」。

　今回の東大生チームは、小橋りささんと岡本麻希さん。スタジオに岡本さんのお母さんと妹さんが見学に来ていた。東大生は、３つの点が定まれば、そこから等距離にある点がただひとつに定まると考え、３つの円の中心を結ぶ三角形の内側と外側に、それぞれの円が接する点がある。つまり、ひとつの円に対して２通り。それが３つあるので、2×2×2＝8通り。答えは「8通り」。ただし、作図のため、計算で円の中心座標を求めようとしたが、できなかった。

　マス北野も答えは、わかっていて、なんとか正確に作図しようとしたが、「あ～疲れた、ダメだ」と天を仰ぎ、放心状態になった。答えは「8通り」。

　竹内薫センセの「美しき数学の時間」の前に正解を見てみよう。

●竹内薫センセの「美しき数学の時間」

　今回の問題は「何種類あるか」を答えるのは簡単だが、作図や計算は、非常に大変な問題。以下は、計算によって円の中心座標と半径を求める方法。

　たとえば、図のように並んだ３つの円の場合を考える。それぞれの円が半径の分だけ、内側か外側の接点を持つことになる。

　板書きの「二乗して（x^2＋y^2）を消去する」というのは、一番小さい円の中心を座標（0,0）に置いたので、他のふたつの円の座標は、原点からどれだけ離れているかで表せるわけ。つまり、(2)式－(1)式、(3)式－(1)式とすると、都合良く、ｘとｒだけの式、ｙとｒだけの式になるわけ。たまたま（意図的に）、3つの円の配置されていたから、都合良くいったけれど、違う場合は？　という疑問を抱くかも知れない。その場合は、ひとつの円を原点に持ってきて、原点を中心に図を回転させるなどの小細工が必要で、計算も大変になると思う。こーゆーときは、シンプルな形で考えるのだ＾＾；

　Maximaで検証してみよう。

　円の3つの式を、circle1、circle2、circle3として、
solve([circle2-circle1],[x]);
(2)式から(1)式を引いて、[solve]というのは、解を求めるMaximaの命令ね。すると、「x=」の式になる。同様に(3)式－(1)式で、「y=」の式になる。これを(1)式に代入すると、「r」だけの式になるわけね。

　「r」を「x=」、「y=」の式に、再び代入すると、円の中心座標、x、yの値が求まる。

　半径の部分の「+」「-」を変えて、これを8回行わないと、すべての円の座標を求めることができない＞＜；すごく、面倒なのだ；；　爺の作成したFlashは、計算しているわけでなく、こうして、Maximaで計算した結果をデータとして持っているだけなのら。

　竹内薫センセの「美しき数学の時間」では、このあと、「円による『反転』で作図」を説明してくれたんだけれど、「円で全平面を反転」すると、円が直線になっちゃうらしいのだ。爺には、難しくてなんのことやら；；

　マス北野じゃないけれど、「あ～疲れた、ダメだ」。わからないものは、説明しようがない＞＜；

※Pencil Missaileは、[SPACE]キーでも発射できるよ＾＾；

※コマネチ大学数学科の「過去問題」はこちらから。
■コマ大数学科：2008年度全講義リスト
■コマネチ大学数学科：2007年度全講義リスト
■コマネチ大学数学科：2006年度全講義リスト

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