■コマ大数学科148講：ボヤイ・ゲルヴィンの定理

　「残暑きびしき折、頭が働かないよ～なんて、ボヤイてる場合じゃありません。今日もはりきって、すうがく！すうがく！」と腕を「ゆってぃ」のようにパタパタさせる戸部洋子アナの「たけしのコマ大数学科」

問題：図のような円に内接する五角形があり、以下の条件のとき、角BCDと角CDEの大きいほうの角度を求めなさい。

　コマ大数学研究会は、日本人になじみのある円といったら、相撲の土俵。というわけで、両国国技館ではなく、そこから目と鼻の先にある、「花の舞 両国国技館前店」の店内中央にある土俵で検証。

　5人が土俵の俵（円周上）に立って、ゴムぱっちんを張り、条件に合うような五角形を作ろうという作戦。

　爺が作成したFlashでは、画面上部にある数字が、∠Aの角度、左下が∠C、右下が∠Dになる。画面両側にあるツマミを動かして、∠Aが105°、∠Cと∠Dの差が25°になれば、図が完成し、答えがわかる。

　やってみれば、わかるけれど、ぴったり答えを合わすには、左右のツマミ、つまり、AB(BC)の辺の長さと、AE(ED)の辺の長さが両方とも合っていなくてはならず、目分量で合わすには、微妙な調整が必要になる；；

　ゴムぱっちんの痛みに耐え、図を完成したコマ大生の出した答えは「125°」。

　中村亨センセによると、今回の問題は、いろいろな解き方があるとのこと。

　今回の東大生チームは、衛藤樹さんと伊藤理恵さん。東大生は、五角形の対角線を引き、円周角に注目した。

青い●を「x」、赤い●を「y」とすると、
x+y+(180-2x-2y)=105 ……①
|(x+2y)-(2x+y)|=25 ……②
①、②より、
(x,y)=(50,25)(25,50)
∠BCD=x+2y , ∠CDE=2x+y に代入して、
125°と100°が求まり。問題は大きいほうの角度なので、答えは「125°」

　途中で計算違いがあったようで、東大生は、10分間の制限時間をいっぱいに使いきり、答えをだした。

　マス北野は、開始早々、戦略が立っていたみたいで、5分とかからず、答えを書いて、余裕の、そして会心の微笑み。

円の中心と、それぞれの角を結ぶ線を引くと、二等辺三角形ができる。青い●と赤い●を足した角度は105°とわかっているので、青い●3個＋赤い●3個は、105×3＝315。五角形の内角の和（540°）から、315°を引けば、残りは、X+Yの角度になる。XとYの差は25°なので、連立させれば、答えが求まる。

　さすが、図形に強いマス北野。じつにシンプルで明快な解き方だ。

●中村亨センセの「美しき数学の時間」

　今回の問題は、いろいろな解き方があるということで、3つの解法を紹介してくれた。解法(1)は、東大生と同じく、五角形の対角線を引き、円周角を使って求める方法。途中の計算方法がちょっと違うけれど、考え方は一緒なので省略。解法(2)は、円の中心からそれぞれの角に補助線を引く方法で、マス北野が解いた方法と同じなので省略。

　さて、解法(3)は、今回のテーマ「ボヤイ・ゲルヴィンの定理」とも、からんでくる「分割合同」という考え方だ。

　「ボヤイ・ゲルヴィンの定理」は、どんな図形も、三角形に分割して、「分割合同」していくと、長方形の面積として表すことができるという定理らしいが、爺の気力が続かないので、今回は、このへんで、かんべんしてほしい＞＜；

※Pencil Missaileは、[SPACE]キーでも発射できるよ＾＾；

※コマネチ大学数学科の「過去問題」はこちらから。
■コマ大数学科：2008年度全講義リスト
■コマネチ大学数学科：2007年度全講義リスト
■コマネチ大学数学科：2006年度全講義リスト

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