またまた、小島寛之センセの著書「数学でつまずくのはなぜか」からの引用。
問題：任意の3桁の数字（たとえば「123」のような数）を電卓に入力する。その数の後ろに同じ数を続けて入力する（「123」の場合なら「123123」と入力して6桁にする）。その数を「7」で割る。さらに「11」で割る。最後に「13」で割ると、ほら、最初の3桁の数に戻るでしょ。さて、このカラクリを証明せよ。
小島センセ、「ネタばらし」でごめんなさい＞＜；
最初の任意の3桁の数字を「a」とすると、そのあとに同じ数字を加えるということは、最初の数を1000倍して「a」を加えることになる。文字式で表すと……
1000×a＋a＝(1000+1)×a
「7」で割ると、
1001a÷7＝143a
さらに「11」で割ると、
143a÷11＝13a
最後に「13」で割って
13a÷13＝a
任意の3桁の数を「a」と表すことで、この式は、いかなる3桁の数を代入しても、最初に入力した数「a」に戻ることが証明される。
ポイントは、「最初の数の後ろに同じ数を入力する」という部分を1000倍して同じ数を加える「(1000＋1)a」とするところ。じつは「a」は3桁の数でなくても成り立つが、2桁の場合は「12012」となり、1桁の場合は「1001」としなければならない。さらに4桁の場合は、「1234*1000+1234」で「1235234」としなければならず、さすがにこれでは、1000倍して1を加えるというカラクリがバレバレになってしまう。
もうひとつのポイントは、「1001」が「7」「11」「13」という、3つの「素数」の最小公倍数になっていることだ。「7*11*13=1001」なわけ。だから、どんな順序で割っても、最後は「1」になる。素数は「1」とその数自身でしか割り切れない数だから。
小島センセの本には「なるほど～こう考えればいいんだぁ」と爺をうならせる事例が満載。その感動を伝えたくて、どうしてもネタばらしをしてしまいたくなる＞＜；「代数」の最初の最初。文字式の威力を感じ取ってもらうには、恰好の「教材」だと思う。
もちろん、その感動を存分に味わいたければ、小島センセの本を買って読むのがいちばん＾＾；
 文系のための数学教室 小島寛之／著 講談社現代新書1759 価格：720円（税別） |
 数学でつまずくのはなぜか 小島寛之／著 講談社現代新書1925 価格：720円（税別） |
《おまけ》百五減算
「コマネチ大学数学科25講：和算」でも紹介した「百五減算」の場合は、素数「3」と「5」と「7」を使う。
「百五減算」は、年齢を当てるカラクリだ。まず、年齢を「3」で割った余り、次は「5」で割った余り、そして「7」で割った余りを求める。
（※註：たとえば「10」を「3」で割った余りを求めるには「10％3＝」の順序で電卓のキーを押してほしい）
年齢を「X」とすると、
a＝X % 3 （3で割った余り）
b＝X % 5 （5で割った余り）
c＝X % 7 （7で割った余り）
で、年齢「X」は、次の計算をすると求めることができる。
年齢「X」＝(70×a)＋(21×b)＋(15×c)－105
もしも、年齢が「105」歳を超えていたら、さらに「105」を減算する。
「百五減算」も、「3」「5」「7」という3つの素数の最小公倍数が「3×5×7」で「105」になることを利用している。
小島センセの「文字式は、ソフトウェアのようなもの」というのも、うなずける事例だ。
／※追記：7月24日
実際に電卓やパソコンを使って答えを求める場合は、
年齢「X」＝((70×a)＋(21×b)＋(15×c))％105
とすれば、何度か「105」を減算する必要はなく、一発で答えを求めることができるわけだが、これでは「百五減算」ではなく、「百五剰余」になってしまう＾＾；
追記終わり※／
詳しくは、過去記事を参照してほしい。
■コマネチ大学数学科25講：和算