「書籍：数学でつまずくのはなぜか」の紹介記事で、せっかく「天秤」のFlashを作ったので、「素数入門」（芹沢正三／著）から「天秤」を使った問題を紹介しよう。
問題：1グラム以上100グラム以下のオモリ「X」がある。この「X」の重さを1グラム単位で量るには、最低、何個のオモリが必要か？
（※出典：「素数入門」芹沢正三／著）
答えは、見てのとおり。それぞれ、重さの異なる7個のオモリが必要だ。「X」の重さは乱数で決定しているので、1個や2個のオモリで量ることできる場合もある。しかし、1グラムから100グラムまで、すべてに対応するには、7個のオモリが必要になる。その理由を説明せよ！
（※「リトライ」ボタンがないので、繰り返し遊ぶときは、ブラウザをリロードしてね＞＜；）
1グラムと2グラムのオモリがあれば、1グラム、2グラム、3グラムを量ることができる。次は4グラムのオモリが必要だ。すると、4+(2+1)で7グラムまで量ることができる。同様に、次は8グラム、その次は16グラムのオモリを追加していく。
つまり、(2＾n)-1 で、「n」が6の場合、63グラム、「n」が7の場合、127グラムまで1グラム単位で量れることになる。それぞれのオモリを「乗せる」「乗せない」を「1」と「0」で表すと、そのまま二進数表記となる。
たとえば、100グラムの場合は、二進数で表すと、
「1100100」となり、
(64*1)+(32*1)+(4*1)=100となる。
さて、以上は、当たり前ちゃ、当たり前。これではパズルにはならない。「天秤」を使うルールとして、片方の受け皿に「X」、もう一方の受け皿だけに「オモリ」を乗せる必要はない。たとえば、「X」が2グラムのとき、左の受け皿に「X」と1グラム、右の受け皿に3グラムのオモリを乗せれば、
X+1=3となり、
天秤はバランスが取れるので、「X」は2グラムと求めることができるわけだ。このように、どちらの受け皿にも「オモリ」を乗せてもよい場合、1グラム以上100グラム以下の「X」の重さを1グラム単位で量るには、最低、何個のオモリが必要か？
今度は、オモリが「1」「3」「9」「27」「81」の5個になった。前の問題は二進数だったが、今回は三進数のようである。
たとえば、「X」の重さが100グラムのときを考えてみよう。
100=1*(3^0)+0*(3^1)-1*(3^2)+1*(3^3)+1*(3^4)
100=1-9+27+81
100+9=1+27+81
というわけなのだが、もう少し説明すると、
100=(33*3)+1（1グラムのオモリは右皿）
33=(11*3)+0（3グラムのオモリは使わない）
11=(4*3)-1（9グラムのオモリは左皿）
4=(1*3)+1（27グラムのオモリは右皿）
1（81グラムのオモリは右皿）
私は「素数入門」（芹沢正三／著）を読むまで、「絶対値最小剰余」という言葉を知らなかったのだが、そういうもんらしい。たぶん明日になれば忘れていると思う＾＾； 詳しくは、以下の本を参照してほしい。
 素数入門 計算しながら理解できる 芹沢正三／著 講談社ブルーバックス 価格：1040円（税別） |