国民の信を問うことなく、安倍、福田、麻生と続いてきた内閣。「100年に一度の世界金融不安の時代」などと言っておきながら、だらだらと解散もできずにいる。小泉内閣の総務大臣だった麻生太郎が「郵政民営化には反対だった」などと国会で発言して、与党内も騒然だが、そう、今回は「内閣の和」ではなく、「内角の和」の「たけしのコマ大数学科」
問題：円周上に1～35まで点を打つ。1から7個ずつ飛ばして、点を線分で結び、星型の多角形を作るとき、その内角の和を求めよ。
多角形の内角の和といっても、円周上に接する頂点が作る角度の和だよ。
コマ大数学研究会の今回のロケ先は、自由が丘にある「イリダーレ」という、ビーズ刺繍の教室。Tシャツに刺繍の円枠をはめ、35個の点を打って、刺繍糸で結んでいく。完成した星形の模様の角度をひとつひとつ分度器で測る……。お宮の「3200度くらい」、北郷は「3350度」、ダンカンは「3380度」、アタルは「3400度」となった。お宮の答えを除き、3名の答えの平均をとって、「3377度」と解答。
ここで注目すべきは、それぞれ、かなり、いい加減に点を打ったにもかかわらず、答えが非常に接近していたこと。つまり、これを計測誤差とすると、点は等間隔に打つ必要はなく、どのように打っても、線を結ぶ順番（ルール）に従えば、答えは一緒ということになる。
生駒尚子さん、小橋りささんの東大「悩殺シスターズ」は、1、9、17、25…という、公差「8」の等差数列を考え、35を過ぎてもカウントを続け、最終的に最初の点「1」に戻ってくるのは、「8」と「35」の最小公倍数「280」と計算。つまり、これ以下の倍数はないので、8周し、円周に接する頂点は、35個になるわけね。ところが、ここで、重大なミス。冒頭の中村亨センセの「円周に接する内角のみの和」という話を聞いていなかった。というわけで、桁違いの「12240度」という解答。
マス北野は、前回に引き続き、今回も「数学の神様が舞い降りた」みたいだ。下図のように考えると、「内角＋外角」は180度。これが、35個すべての点にあるとすると、(180×35）度。これから、外角の総和を引けば、内角の和が求めることができる。
で、東大生の答えからもわかるとおり、「8」と「35」の最小公倍数は「280」なので、角は35個。280÷35＝8周することになる。つまり、外角の和は（360×8）度。
（180×35）－（360×8）
＝6300－2880
＝3420度
というわけで、正解は、マス北野＆ポヌさんの「3420度」が正解。2週連続して、コマ大フィールズ賞を獲得した。
ちなみに、1点とばしのポリグラム(p)の頂点の和は、180*(p-4)、2点とばしは、180*(p-6)、3点とばしは…、s点とばしのポリグラム(p)の頂点の和は、180*(p-(2*s+2))で表すことができる。でも、これは、ちゃんと、すべての点を通り、「1」に戻る場合ね。点の数(p)とステップ数(s)の最小公倍数が、点の数(p)×ステップ数(s)より、小さい場合は、線で結ばれない点があるということ。
中村亨センセの「美しき数学の時間」では、正多角形は、ポリゴン（Polygon）、星形の多角形はポリグラム（Polygram）と呼ぶ。五芒星(Pentagram)や、六芒星(Hexagram)のポリグラムは、1通りしかないが、頂点が7個以上のポリグラムは、複数個できることを紹介。上のFlashで確認してね。また、ポリグラムをいくつかの断片に切り分け、並び替えると違った形になる、いくつかの図形が紹介された。引用元が書いてあったので、さっそくアマゾンで検索したのが下記の本。すごく興味があるものの、ちょっと価格が高めなので、注文することに躊躇してしまった＞＜；
 不思議おもしろ幾何学辞典 デビッド・ウェルズ／著 宮崎 興二／翻訳 日置 尋久／翻訳 藤井 道彦／翻訳 山口 哲／翻訳 朝倉書店 |
 たけしのコマ大数学科 DVD BOX3（第3期） |
 たけしのコマ大数学科 DVD BOX2（第2期） |
 たけしのコマ大数学科 DVD BOX1（第1期） |
※コマネチ大学数学科の「過去問題」はこちらから。
■コマネチ大学数学科：2006年度全講義リスト
■コマネチ大学数学科：2007年度全講義リスト
×阿倍
○安倍
です。
タカさん、間違いの指摘、ありがとうございます。訂正しておきました＾＾；
たけしのコマ大数学科#122 「内角の和」
たけしのコマ大数学科#122(番組的には118回？）
（旧名称・たけしのコマネチ大学数学科）
フジテレビ 2009年2月5日 深夜OA
今回のテーマは、
「内角の和」
【New】
たけしのコマ大数学科
DVDBOX 3
￥5,426
【…
>いくつかの図形が紹介された。引用元が書いてあったので、
え～！見逃してました。
苦し紛れに、USのサイトを検索してました。
初めまして。いきなりで失礼なんですが、この問題どうしても分かりません。解答の言いたいことは分かるんですが、外角の和が(360×8)度というところがわかりません。一周した時点で、求めたい外角4つと、もう一つ角度があるので、その５つの外角をすべて足して360度な気がするんですが。よろしかったら返答ください。
Kさん、コメントありがとうございます。
＞ 外角の和が(360×8)度というところがわかりません。
三角形、四角形、五角形…すべて外角の和は360度になることは、おわかりだと思います。円周上に点を打って線で結んでいけば、１周で図形が完成します。問題図を見てもらえばわかるように、今回の問題では、点を飛ばして作図していくため、1周目では、出発点に戻らず、足し合わせても360度になりません。言わば、「余り」とゆーか、「ツケ」が次の周へと持ち越され、積もり積もっていくのです。８周回ったところで、やっと出発点に戻り、図形が完成します。図形が完成された時点で「ツケ」が清算されるのです。
というわけで、外角の総和は、360×8になるのだと、爺は考えています。
円周角を使うと簡単に解けると思います。
円周上を３５等分しているので、点と点の間１つ分を弧とする円周角は１８０°／３５
問題の星型の多角形の１つの内角は、点と点の間１９コ分を弧とする円周角なので（１８０°／３５）×１９
この角が３５コあるから
（１８０°／３５）×１９×３５＝３４２０°
いかがでしょう？
らんたたさん、コメントありがとうございます。
まったく、その通りですね。以下は爺の蛇足。
上の式、(180÷35)×19×35＝3420では、35で割って、35を掛けてますので、この部分を省いちゃいます。すると、
180×19＝3420という単純な計算式になります。
で、この「19」は、どこから出てきたかというと、7点飛ばし（ということは、35分割した弧の数でいうと、7＋1個）を2回行って線で結ぶと、ひとつの頂点ができる。弧の数は（2×(7＋1))＝16個分、円周角の弧は、この反対側だから（35－(2×(7＋1)))＝19個分。
このことから、ペンタグラム(P角形)をS点飛ばしで描いた図形の円周上の内角の総和は、
180×(P－(2×S＋2))
という公式が導き出されるわけですね＾＾；
らんたたさんのように、ちゃんと理解できていれば、公式を覚える必要もないわけです＾＾；