第12回：1000

　いつものように「たけしのコマネチ大学数学科」の番組が始まる頃は、すっかり酔っ払って「へべれけ」になっていた。その日のTBS「日本語王」という番組で「へべれけ」の語源はギリシャ語の「ヘーベーエリュエケ」で「ヘーベーのお酌」という意味だと、学者の人（名前忘れた）が言っていた。手元に「トリビアの泉」のボタンがあったら「へえ～へぇ～へぇ～」と12回くらい押していただろう。ところが「日本語王」に異議を唱えているのが「豆知識王」だ。

　「へべれけ」論議はともかく、今回の問題は「1～1000の数字が振られている1000個の電球がある。すべてOFFの状態の始めて、１の倍数、２の倍数、３の倍数……1000の倍数まで該当する電球のON、OFFを切り替えていくと最後に点灯している電球は何個か？」

とりあえず、1～10の電球で試してみると「10」までいったとき、点灯しているのは「1」、「4」、「9」番の電球ということになる。

これは、たとえば「6」の約数を考えると「1、2、3、6」で、約数の数が偶数のときは、ON、OFF、ON、OFFときて「OFF」で終わっちゃう。「9」の約数「1、3、9」のように約数の数が奇数の場合のみON、OFF、ONで「ON」で終わる。つまり電球が点灯したままになる。

で、約数の数が奇数になる状態というのは「4=2×2」や「9=3×3」のように、約数で割った答えが約数と同じ数、つまり平方になっている場合だ。

いつも体を張って難問に挑む「コマ大数学研究会」の面々だが、今回は「米粒」に1～1000までの数字を書き、ON、OFFの代わりにひっくり返していくという手法をとった。番組内では「コマ大」ならぬ「コメ大」だと揶揄されていたが、論より証拠、実証が大事だ……「米百俵」という言葉があるが、今回は「米千粒」の心意気だ。

私も「エクセル」で検証。セルA1に「1」と入力。「編集」メニューの「フィル」から「連続データの作成」をクリック。範囲に「列」を選び、停止値を「1000」にして「OK」ボタンをクリック。

  セルB1に「=SQRT(A1)」と入力（SQRTは平方根を求める関数）。セル枠の右下隅にカーソルを合わせると「＋」マークになるので、ダブルクリックする。 「エクセル」は、一瞬で1～1000までの平方根を表示する。で、このうち解が整数になっている数を数えればよい。

  条件付き書式で整数の場合と、そうでない場合を色分けしてみよう。「MOD」は、割り算の余りを求める関数。数値を「1」で割って、余りが出なければ「整数」ということになる。

というわけで「コメ大数学研究会」と同レベルだが「31個」という正解にたどりついた。めでたし、めでたし。