■コマ大数学科136講：早稲田に挑戦

♪今年もゼミへ行くって、いっぱい数値を割るって、約分したじゃない、あなた約分したじゃない、解けない～♪「たけしのコマ大数学科」

問題：約数の個数が28個ある、最小の自然数「ｎ」を求めなさい。
※早稲田大学、商学部の入試問題

　ジョンフンに因数分解を手伝ってもらおう（手抜きの流用＞＜；）。

　今回から始まった新シリーズ(?)、東京6大学の入試問題に挑戦。しょっぱなに登場するのは「早稲田大学」。

　我らがコマ大数学研究会は、滝口順平のものまねをする無法松のナレーション入りで、早稲田に「ぶらり旅」。今回は、コマ大生が問題を解くのではなく、早稲田大学の学生をスカウトして、問題を解いてもらい、その最も早い解答タイムに、スタジオのマス北野と、東大生に挑戦してもらおうという趣向。「鉄道研究会」や「株式投資サークル」などを訪れ、問題を解いてもらうが、大苦戦。そんな中、最速タイムをたたき出したのは、「バンザイ同盟」商学部4年生の三上剛さん。タイムは、2分58秒。

　さて、スタジオの東大「秒殺シスターズ」の衛藤樹さんと伊藤理恵さんは、90秒でフリップに答えを書くものの、あとで、間違いに気づいた模様。

　マス北野は、「やんなっちゃった」と苦戦するも、6分40秒で答えを出した。マス北野の考えた方法は、まず、28を因数分解すると、2^2×7、つまり、4×7になることに注目。素数の小さいほうから、4×7の表を作成していくというもの。

　まず、「2」のべき乗を、0～6まで表内に書く。次に大きい素数は「3」、次に大きい素数は「5」なので、「3」と「5」を使うことを仮定して、表を埋めていく。素因数分解は、「2^n×3」のように表されるので、その数値を表内に書き込む。「5」の場合も同様。もしも、「3」と「5」を使うならば、当然、「15」という約数も存在する。これを表内に書き込むと、見事、4×7＝28の表が完成し、表の右下の数値は「960」になる。960の約数がすべて書き出されているのだ。

　東大「秒殺シスターズ」は、最初、どこで勘違いしたか不明だが、約数の個数を求める公式を知っていた。自然数「n」を因数分解したとき、「n＝A^a×B^b×C^c」のように書き表すことができるが、このとき、A、B、Cは素数で、約数の個数は、(a+1)×(b+1)×(c+1)…とすれば、求めることができる公式だ。「A^0」(Aの0乗もあるので、冪指数に、「1」を加える必要がある。

　「28」を素因数分解したとき、「2×2×7」になるので、最小の自然数「n」を求める場合は、2を多く使った方が、小さい数になるので、「2^(7-1)×3^(2-1)×5^(2-1)」となり、「2^6×3×5=960」という結果になる。

　タイムは、マス北野より、わずかながら早い、6分25秒となり、コマ大フィールズ賞を獲得した。東大生の説明を受けて、マス北野は「この公式は、高校で習うの？」と聞いていた。爺も、高校の授業でそんな公式は教えてもらった記憶はない。もっとも、数学の授業を抜け出して、美術室でさぼっていた爺が言えることではない＞＜； ともかく、爺の印象としては、公式を知っていた東大生の知識も立派だが、公式を知らないにも関わらず、自力で答えにたどり着いた（多少の強引さはあるにしても）マス北野の智慧を比べると、爺は、マス北野にエールを送りたい。

■中村亨センセの「美しき数学の時間」

「28」を因数分解すると、「2^2*7」
これを、2^{0,1,2}*7^{0,1}の表にすると、

　0乗のぶんがあるので、(冪指数+1)*(冪指数+1)=3*2の表になり、約数が6個あることがわかる。マス北野の考えた表と基本的には、同じようになる。

　そこで、東大生が使った、約数の個数を求める公式だが、冪指数を抜き出して、
(a+1)*(b+1)*(c+1)…=28を満たす、最小の自然数「n」を求める。

　爺の推測だが、たぶん東大生は、90秒で答えを書いたとき、「2^6*3^3=1728」としてしまったのでは、ないだろうか。

　答えは「2^6*3*5=960」となる。公式にあてはめると、
(6+1)*(1+1)*(1+1)=7*2*2=28
約数の個数が28個であることが確かめられる。

　爺は、覚えたばかりの、Maximaの「divisors」を使って、960のすべての約数を書き出してみる。

　爺が楽しみにしている、今回の「ちょっといい話」、数学のトリビアは、「完全数」や「友愛数」、「社交数」についてであった。ちょっと前のエントリ「書籍：博士の愛した数式」で取り上げたばかりなので、そちらを参照してほしい。

　完全数は、自分自身を除く約数をすべて足すと、自分自身になるというものだが、
28＝1+2+4+7+14
もうひとつ、
28＝1+2+3+4+5+6+7
のように、完全数は、自然数の和としても表すことができる。

※Pencil Missaileは、[SPACE]キーでも発射できるよ＾＾；

※コマネチ大学数学科の「過去問題」はこちらから。
■コマ大数学科：2008年度全講義リスト
■コマネチ大学数学科：2007年度全講義リスト
■コマネチ大学数学科：2006年度全講義リスト

---