■コマ大数学科190講:数検からの挑戦

前回は「数検に挑戦」だったけれど、今回は「数検からの挑戦」だよ「たけしのコマ大数学科」

問題:1辺の長さが1の正六角形の形をした紙が水平に置かれています。この紙の上に先端にインクを付けた19本の針を落とします。これらの針は全て紙の上に落ち、各針とも少なくとも1カ所、インクの跡を付けるとします。このとき、インクの跡の少なくとも2カ所は、その距離が√3/3以下であることを証明しなさい。

一辺が1の正六角形の中にできるだけ離れた点を7個以上打つには、まず、頂点の6箇所に点を打つ(2点間の距離は、当然、1になる)。残りは、正六角形の中にランダムに点を打って、2点間の距離が、1/√3未満だったら、2点間を線で結ぶFlashを作成した。ランダムに点を打つと、「少なくとも2カ所」どころか、ほとんど、2点間の距離は、1/√3以下になる。問題の証明をするには、偶然に頼ってはいられないぞ^^;

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■コマ大数学科189講:数検に挑戦

ガンビーノ小林が漢検準一級を取り、平成教育学院にも出演したが、今回は「漢検」ではなく「数検」2級の問題。世の中には、パソコン検定やインターネット検定まで、いわゆる資格商売があふれている。受験者が多くなれば、受験料だけでなく、テキストなども売れるので、おいしい商売なんだろうな「たけしのコマ大数学科」

問題:図のように円Oに平行でない2つの弦ABとCDがあります。弦ABの中点Mでこの弦に接し、しかも弦CDに接する円をPとします。円の中心Pと円Pを以下の条件に従って作図しなさい。
≪条件≫
・コンパスとものさしを使って作図
・ものさしは直線を引くことだけに使用
・分度器は使用不可
※作図に用いた線は残しておき、線を引いた順に(1)から番号をつけなさい。

189講:問題図

画面をクリックすると、Flashが別窓で開くはず。円や直線を描くときは、先に「Circle」や「Line」を選んでから、開始点から終了点までドラッグする。「Deviders」は、中心点をクリックするだけで、直前に描いた円と同じ半径の円を描く。「Answer」は、最終的な答え、点Pを中心として円を描くときに選んでほしい。

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■コマ大数学科188講:碁石拾い

問題:碁石をすべて取り尽くすには最小で何手?
≪ルール≫
(1)一番左上から一筆書きになるように石を拾う。
(2)拾う方向は斜めのみ。
(3)途中の石は飛ばさずに必ず拾う。
(4)すでに石がない場所は通っても良い。

取ることのできる石は「斜めのみ」。ガイドが表示されていない石をクリックすると、ゲームを続行できなくなるバグがあるので注意。そーゆーときは「Reset」ボタンを押してほしい><; 石を取り除いた場所へ後戻りもできる…とゆーか、この問題では、後戻りしないと、すべての石を取り尽くすことはできない^^;

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■コマ大数学科187講:補助線

自転車の補助輪というと「みそっかす」な感じだし、修学旅行のバスで補助席だと、かなり冷遇されている感じだ。でも、数学の幾何問題の「補助線」は、スポットライトを浴びるスターのような、ひらめきと驚きの「たけしのコマ大数学科」

問題:三角形ABCの内部に点Pがあります。AP=√3、BP=5、CP=2、AB:AC=2:1、∠BAC=60°であるとき、三角形ABCの面積を求めなさい。
※2010年 数学オリンピック(JMO)予選問題
http://www.imojp.org/challenge/old/jmo20yq.html

図(1)

△ABCは、辺の比が、2:1:√3の直角三角形だということはわかるが、辺の長さがいっさいわからない><; どこに補助線を引くかがポイントなのだけど……。

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■コマ大数学科186講:東北東に進路を取れ

ヒッチコックの「北北西に進路を取れ」ではなく、「東北東に進路を取れ」の「たけしのコマ大数学科」

問題:南北の方向に引いてある白線上の点Aから西へ5mの点でコインを投げ、表が出たら東へ1m、裏が出たら北へ1m進みます。白線に達するまでこれを続けたとき、点Aから2m北の点に達する確率を求めなさい。

※1982年 京都大学(理系)入試問題を参考

図(1)

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■コマ大数学科185講:名古屋大学に挑戦

国立大学に挑戦シリーズ第2弾。名古屋大学(名大)は、ノーベル賞やフィールズ賞の受賞者を輩出している名門の大学だ「たけしのコマ大数学科」

問題:3x+2y≦2008を満たす、0以上の整数の組(x,y)の個数を求めよ。
※名古屋大学(理系)前期 入試問題

上は、3x+2y≦18としたときの図。x≧0, y≧0と、この式に囲まれた部分に整数の格子点が何個あるかとゆーことね^^; ステッパーの数値を変えると、格子点の数を計算するようにしたけれど、グラフは変わらない><;

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■コマ大数学科184講:競売

問題:ある駅前の土地が競売によって売り出されることになった。競売の方法は以下の通り。

買い手は自分の買い値を紙に記入して、それを秘密にしたまま、入札箱に投入するものとする。買い手が入札を終えた後、売り手は入札箱を開けて一番高い値をつけた買い手に、その人がつけた買い値でこの土地を売ることにする。一番高い買い値をつけた買い手が複数いる場合は、その中から公平なくじ引きで選ばれた1人に売ることにする。

A氏は、この土地を用いた事業を行うことで5億円の利益が得られるとする。つまり、競売に参加してX億円で土地を買うことができたとすると、A氏の利益は5-X億円になる。土地を変えなかった場合は、事業の利益も土地購入代も発生しないので、A氏の利益は0円と考える。

この競売に、A氏の他にもう一人の買い手(B氏)が参加しているとする。買い値は、1億円単位でつけなければいけないものとする。B氏のつける買い値をY億円とし、Yは1から10までの整数を等しい確率でとるものとする。

利益の期待値を最大にするためには、A氏はいくらの買い値をつければ良いか。

※2010年東京大学(後期)総合科目II問題

この土地が生みだす利益は5億円なので、5億円で落札しても利益は「0円」。利益を生む入札額は「1~4億円」となるが、相手より額が大きくなければ落札できない。さて、もっとも利益を期待できる入札額は……。

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■コマ大数学科183講:未来の東大生に挑戦

今回は、東大入学率日本一、数学オリンピックでも数多くのメダリストを輩出しているという、筑波大学付属駒場高校(筑駒)の入試問題に挑戦「たけしのコマ大数学科」

問題:1辺の長さが12cmの立方体の容器に11cmの深さまで水が入っています。この容器には、ふたがついていて回転しても水はこぼれないものとします。点Gを通り、4点A,E,G,Cを含む平面に垂直な直線を「l」とし、lを軸として容器を回転します。点Eが水面上に来るとき、水面の面積を求めなさい。
※筑波大学付属駒場高校入試問題

図(1)

lを軸として回転させるとき、右回りと左回りが考えられるが、中村亨センセから「今回は、向かって右回りで考えてほしい」との注釈がついた。

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■コマ大数学科182講:トリコロール

トリコロールといえば、フランス国旗。青は自由、白は平等、赤は博愛という意味があるらしい。床屋さんの店先でくるくる回る看板燈も、青、白、赤のトリコロールだが、赤は血管の動脈、青は静脈、白は包帯を表しているという。いったい、今回はどんな問題なの「たけしのコマ大数学科」。

問題:赤色の島、青色の島、黄色の島がそれぞれちょうど3つずつある。これらの島に次の2条件を満たすようにいくつかの橋を架ける。

条件(1):どの2つの島も、1本の橋で結ばれているか、結ばれていないかのいずれかであって、橋の両端は相異なる2つの島に繋がっている。

条件(2):同色の2つの島を選ぶと、その2つの島は橋で直接結ばれておらず、その2つの島の両方と直接結ばれている島も存在しない。

橋の掛け方は何通りあるか。ただし、1本も橋をかけない場合も1通りと数える。

※2010年 日本数学オリンピック予選問題

たぶん、問題解決には役に立たないだろうけれど、いちおうFlashを作成した。島と島をクリックすると橋(線)で結ばれる。問題は、橋を何本架けられるかではなく、何通りの架け方があるかなので注意してね。また、爺の趣向で島の色は勝手に変えさせてもらったよ^^;

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■コマ大数学科181講:GCD

GCDとは「Ganbare Coma Dai」の略ではなく、「Greatest Common Divisor」の頭文字をとったもので、最大公約数の意味だよ~ん「たけしのコマ大数学科」

問題:各桁の数字が相異な、どれも0でないような3桁の正の整数nがある。nの各数字を並べてできる6つの数の最大公約数をgとする。gとして考えられる最大の値を求めよ。
※2010年 日本数学オリンピック予選問題

いい加減な爺の作ったFlashでは、同じ数字を使っちゃダメとゆーのをチェックしていない。最大公約数を求める作業をFlashにやらせちゃうと、すぐに答えがわかっちゃうけれど、どーしてそーなるのか、法則を考えてね。

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