■コマ大数学科187講：補助線

自転車の補助輪というと「みそっかす」な感じだし、修学旅行のバスで補助席だと、かなり冷遇されている感じだ。でも、数学の幾何問題の「補助線」は、スポットライトを浴びるスターのような、ひらめきと驚きの「たけしのコマ大数学科」

問題：三角形ABCの内部に点Pがあります。AP=√3、BP=5、CP=2、AB:AC=2:1、∠BAC=60°であるとき、三角形ABCの面積を求めなさい。
※2010年 数学オリンピック(JMO)予選問題
http://www.imojp.org/challenge/old/jmo20yq.html

△ABCは、辺の比が、2:1:√3の直角三角形だということはわかるが、辺の長さがいっさいわからない＞＜；　どこに補助線を引くかがポイントなのだけど……。

●コマ大数学研究会の答え

我らがコマ大数学研究会は、なぜだかわからないけれど、占い師の元へ。筮竹（ぜいちく）占いの教えを乞う。問題図を前にして、筮竹占いで答えを導くのかと思いきや、筮竹をばらまき、たまたま、長方形の形になった補助線を見つける。問題図の上に筮竹を1本1本、ボンドで貼り付けていくが、意味不明＾＾；　今回の問題は、△ABCの各頂点から、Pまでの距離はわかっているが、実際に問題文の条件を満たす、辺比が2:1:√3の直角三角形を描くことは、かなり難しい（爺の図も、かなりいい加減；；）。そのあたりをロケで検証してほしかった。

問題文の図が正確ならば、辺の長さを定規で測ってしまと、簡単に△ABCの面積を求めることができてしまうので、人体の各部の長さを元に辺の長さを求める（ちょっと設定が苦しい＞＜；）。図は、問題文を10倍した大きさなので、(1/100）を掛けて、答えは「7.65平方cm」。

●マス北野＆ポヌさんの答え

辺の長さがわからない三角形。マス北野は、包みを開けるようにパタ、パタ…と、各々の辺を軸に対称的な補助線を描いた。すると、辺の長さがわかる五角形になる。この五角形の面積は元の三角形の2倍。さらに五角形を三角形で分割するような補助線を引くと、面積を計算できる三角形の集まりになる。マス北野は、ここまでやって、あとの計算はポヌさんにまかせた。

答えは、(7√3)/2＋3平方cm
（※約9.062）

●木村美紀＆山田茜さんの答え

木村美紀＆山田茜さんの東大生チームは、いろいろな補助線を引いてみたが、お手上げの状態。三角形の内側に補助線を引くという常識に囚われていると、うまくいかない。最後は、辺ACの長さは、だいたい4くらいだろう…という勘で、

答えは、8√3平方cm
（※約13.856）

●中村亨センセの「美しき数学の時間」

今回は、マス北野＆ポヌさんチームが、ばっちりの正解。コマ大フィールズ賞を獲得した。

まず、△ABCは、直角三角形であることを再確認。AB：AC＝2：1　∠BAC＝60°∠ACB＝90°∠ABC＝30°

∠QBRは、∠ABCの2倍の、60°で辺BQ,BRは、共に5なので、△QBRは一辺が5の正三角形。QR＝5

∠C＝90°を2倍すると、∠RCS＝180°（一直線）、CPの長さは2、CS＝2、CR＝2、つまり、RSの長さは、4

∠BAC＝60°の2倍して、∠QAS＝120°AQ＝√3、AS＝√3なので、△AQSは、二等辺三角形

ちょっといい話は、補助線の問題を2つ紹介。

BCを一辺とする正方形を作ると、Dはその中心。
BFを一辺とする正三角形を作ると、GADは一直線で、□BCEFや△BFGは、GADに関して対称。

∠AGB＝30°
△ABG＝△ABC
（BG＝BC、ABは共通、∠ABG＝∠ABC＝75°）
∴∠ACB＝∠AGB＝30°

●ガスコン爺の「美しくない数学の時間」

問題図とマス北野の補助線の図は、爺がじつにいい加減に描いた図。マス北野のように補助線を引くと、元の三角形の辺の長さがわからないまま、面積を求めることができる。これが今回の問題のおもしろいところだ。

しかし、ブログ用に問題図を描こうとしたら、はたと困ってしまった。辺の比はわかっているが、実際にどの位の大きさで描けば、AP=√3、BP=5、CP=2という条件を満たすのか、わからない。Pの位置が特定できないのら＞＜；

中村センセの「美しき数学の時間」の図は、もう少し正確な図にしたいなぁと思い、寸法のわかっている五角形から、FlashのPoinを使い、スクリプトで作図して、元の三角形を描くことにした。FlashのPointクラスは、極座標で座標を何度回転させるとか、直交座標に変換するとか、座標に座標を足し合わせるような、いわゆるベクトル計算ができる便利な機能ね。

問題文から三角形は、2：1：√3の直角三角形であることがわかっているし、すでに解答から、面積は「3+(7/2)*√3」であることがわかっているので、ACの長さを「X」とすると……。

「辺ACの長さは、3.234826365531503になるよ」と「Maxima」が教えてくれる＾＾；　なんとも、酒臭い爺の、もとい、泥臭い爺の美しくない数学だ＞＜；

※たけしのコマ大数学科の「過去問題」はこちらから。
■コマ大数学科：2009年度全講義リスト
■コマ大数学科：2008年度全講義リスト
■コマネチ大学数学科：2007年度全講義リスト
■コマネチ大学数学科：2006年度全講義リスト

■コマ大数学科DVD-BOXガイド

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