■コマ大数学科158講：ダイアゴナル

　ダイアゴナルとは、対角線という意味らしい「たけしのコマ大数学科」

問題：1辺の長さ1の正方形のタイル800枚を隙間なく並べて、縦25、横32の長方形を作ります。この長方形の対角線1本が通過するタイルの枚数を求めなさい。

　う～ん、数えれば、なんとかなりそーな気もしないでもないが、もちろん、数学的に考えてね。

　今回の問題は、コマ大数学研究会向き。800枚のタイルならぬ、正方形の折り紙を隙間なく並べて貼り付けていく。しかし、ロケ日は、台風18号の影響で、どしゃぶりの雨。そんな過酷な状況でも、下記のような芸術的（？）な作品を仕上げた。

　マス北野に言わせると「貧乏な幼稚園の壁紙」とのことだが、完成したタイル画（折り紙画）の対角線にロープを張り、重なるタイルの数を数えた。答えは「56」枚。

　マス北野は、少ない枚数の図を描いて、法則を見つける作戦。

　25/32は、約分できないので、分数の分子、分母を「a/b」とすると、通過する枚数は「a+b-1」という式を立てた。答えは「56」枚。

　東大生チームの岡本麻希さんも、基本的には、マス北野の考え方と同じで、25と32は互いに素なので、対角線は頂点（正方形の角）を通らない。ということで「縦＋横－1」、この場合は「25＋32-1＝56」、「56」枚という答えを出した。

　同じく東大生チームの小橋りささんは、本当に少ない枚数から導き出した法則が正しいのかどうか、違った方法で検証を試みた。25：32は、1：1.28である。25をY軸、32をX軸とすると、Y軸で1マス進むと、X軸は1.28マス進むということである。マス目で考えると、1を少しでも超えるということは、隣のタイルに入ることで2マスに重なるということ。そこで、電卓で1.28を足していき、Y軸が25になるまで、すべての数を書きだした。

　小橋さんの表とは、ちょっと違うけれど、爺はエクセルで表を作成。基本的な考えは小橋さんと同じだ。表の「CELING」というのは、「天井」という意味で、FLOOR（床）が小数部分を切り捨てて整数を取りだす（切り捨て）のに対して、ちょっとでも端数がでたら、次に大きい整数にするのが「CELING」（切り上げ）だ。

　すると、1つずつ増える（ということは、2枚のタイルにまたがっている）場合と、Y軸が1つ増える間に、X軸が2つ増える場合がある（3つのタイルにまたがる）。2つ増える箇所は全部で6か所で、残り（19か所）は１つずつ増える。これを式にすると、「2*19+3*6=56」で、やはり、「56」枚という答えになった。

●中村亨センセの「美しき数学の時間」

　中村センセによると「今回の問題はシンプルなことがポイントになっている」とのこと。