■コマ大数学科151講：円すい

　政権交代が行われ、鳩山新内閣が誕生した。鳩山由紀夫の個人資産は89億円というから、貧乏な爺から見れば、涎垂の的だ＞＜；　その「えんすい」じゃない「たけしのコマ大数学科」

問題：直径4cm、母線24cmの円すいのA地点から、円すいにひもをぐるぐる5周巻いて、Aに戻ってくるまでの最短距離を求めなさい。

　図の円錐の寸法は、じつにいい加減。直径4cmで、母線が24cmとゆーと、えらく細長い円錐だ。なんか、そのあたりにギミックが隠れていそーな気がする＾＾；

　コマ大数学研究会は、問題の円錐と同じ縮尺の円錐を探すことから始まった。しかし、ピッタリの円錐が見つからず、粘土で作った円錐にひもを巻きつけて、一番短くなる巻き方を考える。

　ちょっと、わかりずらいかもしれないが、円周が一番小さくなるのは、円錐の先っちょの部分だ。側面を1回転して頂点付近に行き、そこで、3回転させて、再び、1回転してA地点に戻る。ひもの長さは「60cm」となった。

　マス北野は、コマ大数学科の第3回でやった、ビリヤードの「モーペルテュイの原理（最小作用の定理）」を頭の中で思い浮かべたようだ。円錐の展開図を5つ並べた図をかなり正確に描き、同じA地点となる点を直線で結んだ。

　円の中心から垂線の足を下ろし、15°75°90°の直角三角形を考え、計算した。答えは「46.3644」cm。

　衛藤樹さん、伊藤理恵さんの東大生チームは、今回も秒殺、瞬時に答えを書いた。衛藤樹さんによると、「受験テクニックでも、最短距離を求める問題は、展開図を書いて直線で結ぶ」というのが鉄則だそうだ。

　マス北野と同様の図を描き、余弦定理と正弦定理を使った、2通りの方法で答えを求めた。答えは「46.364」。

●竹内薫センセの「美しき数学の時間」

　おさらいになるけれど、手順としては、円錐の展開図から頂点の角度を求める。

　展開図を5つ並べた図を描く。竹内薫センセは、上図のような三角形で計算したけれど、展開図の頂点の角度は30°なので、A地点と6周目の点を結べば、直線（円の中心を通る直径）となり、マス北野の考えた直角三角形とは相似になる。

　電卓を使えば、簡単に計算できるが、cos30°は「√3：2：1」の直角三角形なので、cos30°＝(√3/2)、二倍角の公式を使えば、cos15°の値を知らなくても（電卓を使わなくても）、答えを求めることができるという話。

　なんだか、今回の「たけしのコマ大数学科」は、ふつうに、高校の数学の授業みたいな感じ……。

　あ、そうそう、忘れていた。冒頭で「えらく細長い円錐だ」と書いたのは、もっと底面の大きい円錐だと、展開図を5つ並べたとき、180°を超えてしまい、A地点どうしを直線で結ぶことができなくなり、コマ大生の解法が正解となるから（もっとも、これじゃ、問題にならない＾＾；）。

≪追記：9月21日≫
　√記号の中に√記号があるという、二重根号を外す方法がコメントで寄せられた（※コメント参照）。

　つまり、二重根号は「あまり美しくない」というわけね。今回の場合、そのまま二重根号を外すこともできるけれど、そもそも「二倍角の公式」を使わず、「加法定理」を使えば、二重根号にならない。

　以下、爺でもわかる(?)加法定理＾＾；

　番組内で二倍角の公式を「『コス・コス・サイン・サイン』と暗記しているものですよね」と竹内センセが言っていたが、三角関数の公式はいっぱいあって、ひとつひとつを丸暗記するのは、けっこう大変。放送大学の長岡亮介センセは、「丸暗記する必要はなく、既知の公式から導き出せればよい」と言っていた。とゆーか、その関係性がちゃんと理解できているほうが重要とゆーことだと思う。

※Pencil Missaileは、[SPACE]キーでも発射できるよ＾＾；

※コマネチ大学数学科の「過去問題」はこちらから。
■コマ大数学科：2008年度全講義リスト
■コマネチ大学数学科：2007年度全講義リスト
■コマネチ大学数学科：2006年度全講義リスト

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