■コマ大数学科133講：ソ連の円周問題

　新型インフルエンザA(H1N1)が国内でも感染拡大しているもよう。軽度症状の感染者は家から出ないようにと呼び掛けているが、爺の場合は、1年中、家にひきこもりの「たけしのコマ大数学科」アンドリアノフ～＾＾；

問題：三角形ABCの外接する円周上を動く点Pがある。PからAB、ACにおろした垂線の足をM、Nとするとき、MNの長さが最大となるPの位置を作図せよ。

　コマ大数学研究会のロケには、ひさびさに「ラート師匠」が登場。ラートに三角形の紙を貼り、任意の点Pをいろいろ変えて、M・N 間の距離を実測する。コマ大生の到達した答えは……。

　点Aから、ラート師匠の「いちもつ」を通り、「へそ」を抜け、「脳天」Pに至るとき、M,Nの距離は、最大になるとした。

　衛藤樹さん、伊藤理恵さんの東大「秒殺シスターズ」の答えは、PがAと重なるとき、MNの距離は0、A→B、あるいは、A→CへPが移動するとき、MNの距離は単純増加する。このことから、Pの位置は、BCの円弧上にあると推論（※爺註：⊿ABCが外接円の中心を含まない場合は、必ずしも、そーなるとは言えない；；）。M,Nの最大値は、B,Cと重なるとするも、そのときのPの位置は、BCを二等分し、垂線が円と交わる点をPとした。

　図形問題に強い、マス北野。AとPを結ぶ線が直径となるとき、M,Nが最大になり、かつ、B,Cと重なることを見抜いた。三角形ABCが直角三角形の場合は、確かにそうなのだが、一般解を求めるには、やや不明瞭な部分があり、説明不足になってしまった。

■竹内薫センセの「美しき数学の時間」
　竹内センセは「シンデレラ(Cinderella)」という、ソフトを使って説明した。爺の作成した、Flashは、それを模したもの。

※キーボードの[←][→]で、点Pを移動できる（※爺註：動かないときは、画面内を一度クリックする）。数値は、外接円の半径を「1」としたときの、MNの距離。ピクセル単位の座標で計算しているため、誤差が……。

　結論から言うと、MNは、BCと重なるとき最大になり、そのとき、AとPを結んだ直線は、円の中心を通る。

　まず、APを直径とする円を描く。∠MPNと、∠MANは、ともにMNを弦とする円周角なので同じ。かつ、∠BACも、MはAB上、NはAC上にあるので、同値となる。点Pを動かすと、MNの長さも変わり、円の大きさも変わるが、円周角MPNの値は変わらない。つまり、MNを最大にするには、APを直径とする円を最大にすればよい。それは、三角形ABCに外接する円と同じ大きさで、APは直径なので、円の中心を通る。

　とてもわかりやすい説明なんだけど、点Pが弧BC上にあるときは、当然ながら、∠MPNと、∠BACは、一致しない……。

　マス北野の答えは、直角三角形の場合は、成り立つが、それ以外の三角形の場合は成り立たない。コマ大・フィールズ賞は、図形としてあっていた（理由は問わず^^;）とゆーことで、コマ大数学研究会が獲得した。

　ところで、今回のタイトル「ソ連の円周問題」だが、「数学オリンピック」は、1959年、旧ソ連圏の7カ国が参加してスタートしたそうで、第20回にイギリスが加わり、以降、参加国は増え続け、現在は、100カ国にもなろうとしている。クレジットに資料提供「数学オリンピック財団」とあったので、たぶん、過去の数学オリンピック（旧ソ連の開催？）からの問題だと思う。でも、そのことには触れられていなかったので、その、つながりが、よくわからなかった；；。

≪参考≫
シムソンの定理（Wikipedia）

※Pencil Missaileは、[SPACE]キーでも発射できるよ＾＾；

※コマネチ大学数学科の「過去問題」はこちらから。
■コマ大数学科：2008年度全講義リスト（暫定版）
■コマネチ大学数学科：2007年度全講義リスト
■コマネチ大学数学科：2006年度全講義リスト

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