■コマネチ大学数学科98講：正方形

　今回のテーマは「正方形」ということで、「正に包茎」(マス北野・談）でも、「谷啓」（コマ大生）でもない「たけしのコマ大数学科」だよ。がちょ～～～ん！

問題：4×4のマス目にマッチ棒が並べてある。すべての正方形を崩すには、最低何本のマッチ棒を取り除く必要があるか？

【遊び方】マッチ棒をクリックすると、マッチ棒が取り除かれ、取り除いた本数がカウントされる。いかに少ない本数で、すべての正方形を崩すことができるかを競う。

　コマ大数学研究会は、「泰平木材」の全面協力により、角材を使っての検証。試行錯誤の3時間20分の検証により、出た答えが「9本」

■コマ大数学研究会の答え

　小橋りささん、生駒尚子さんの東大「悩殺シスターズ」は、あくまで論理の力で解こうとする。図の中に1辺1の正方形は16個、1辺2の正方形は9個、1辺3の正方形は4個、そして1辺4の正方形が1個で、合計30個の正方形がある。正方形を崩すには長方形にすればよいということで、いちばん小さな1辺1の正方形の仕切りを取り除き、長方形にすると、8本が必要。この状態で、真中に1辺2の正方形と、外周の1辺4の大きな正方形が2つ残る。下図を参照。

■東大生の答え（途中経過）

　この真中の正方形と大きな正方形を崩すには、あと2本必要なので、8本＋2本で、合計10本という答え。

　なんらかの法則性がないかということで、1辺1の正方形を崩すには、そのうちの1本を取り除けばいい。1辺2の正方形の場合は、3本取り除く必要がある。さらに1辺が4の正方形の場合は、6本ということで、
1辺が1の正方形、1本
1辺が2の正方形、(1+2）＝3本
1辺が3の正方形、(1+2+3)＝6本
よって、1辺が4の正方形の場合は、
(1+2+3+4)で10本になると考えた。

　マス北野は、実際にマッチ棒を使って検証。いったん、マッチ棒を取り除き、正方形を崩したあと、さらにマッチ棒が置くことができる場所がないかを検証した。つまり、マッチ棒を最大限に使って、正方形を作らない方法だ。答えは、コマ大生と同じ9本となった。

■マス北野＆ポヌさんの答え

（※コマ大生の答えの鏡像）

■ちなみに、爺はこんな形を考えた

点線のマッチ棒を取ることで、最小の正方形と、中心の1辺が2の正方形の2つの正方形を同時に崩すことができることが、わかってもらえると思う（※2009年5月18日追記：３×３の正方形が残っているので間違い＞＜；）。

■中村亨センセの「美しき数学の時間」
　最小の正方形を「単位正方形」とすると、16個の単位正方形は、隣合う単位正方形の仕切りを取り除けば、8個の長方形になる。で、外側の正方形を崩すのに、さらに1本必要になる。東大生の考えた、真ん中の1辺2の正方形を崩すのには、じつは、単位正方形を長方形にするときに共有できるのだ（1本を取り除くことで、2つの正方形を崩すことができる）。

１辺のマッチ棒の数を(n)とすると、
消す本数＝ROUND(n^2/2,0)+1　(n>=2)
で求めることができる。
エクセルの場合、「ROUND」関数は、(n^2)が奇数のとき、2で割ると、小数点以下が「5」になるので、四捨五入する。「CEILING」関数も、基準値（この場合は整数）に切り上げる点では同じ働きをする。

「たけしのコマ大数学科」のDVD第2弾が発売されたみたいだ。

たけしのコマ大数学科 DVD-BOX 第2期

※コマネチ大学数学科の「過去問題」はこちらから。
■コマネチ大学数学科：2006年度全講義リスト
■コマネチ大学数学科：2007年度全講義リスト

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