■コマネチ大学数学科87講：デュードニー

　私は、てっきり、東大理Ⅲコンビ（衛藤樹さん、伊藤理恵さん）と、東大獅子座A型コンビ（小橋りささん、生駒尚子さん）が交代で出演するのかと思っていたら、今回もフレッシュな新入生が登場。あらら、なにやら見慣れた人が……「たけしのコマ大数学科」。

ヒント1：ハサミを入れるのは3回。
ヒント2：正三角形の面積から正方形の1辺の長さを求める。
ヒント3：直角を4つ作る。
ヒント4：正三角形の辺の中点に注目する。

　というわけで、涙を流して卒業したはずの、木村美紀さんが東大の大学院1年生になり、コマ大に再入学。お相手は、東大文Ⅲの1年生、山田茜さん。こちらは、ほっかほかの新入生だ。

　今回は、コマ大数学研究会もスタジオで挑戦。超難問のパズルということで、マス北野、東大生も苦戦する。竹内薫センセからは、断片のひとつ（パズルの1ピース）がヒントとして出された。

「誰が正方形に近いかということですよね。こうなってくると…」と竹内センセ。

　コマ大生は、かなり、いい線いっていた（考え方はあっていた）が、どういうわけか、正方形からちょこっと、はみ出た部分ができてしまった＾＾；　マス北野は、いちばん正方形に近く、コマネチ・フィールズ賞を久しぶりに獲得。木村美紀さん、山田茜さんの東大生コンビは、正方形というには、少し無理があった。

　では、さっそく竹内薫センセの「美しき数学の時間」

　作図の方法だが、じつは、今回の「デュードニーのパズル」、すでに過去記事「書籍：知性の織りなす数学美」で紹介してしまっていた。だから今回は、やることがないのら＞＜； でも、あえて再掲載しておくね。

　正三角形ABCの一辺の長さを「2」とする。頂点Aから、辺BCに対し垂線を引く。垂線を伸ばし、BE、CEと同じ「1」の長さをEFとする。AFは(√3＋1）、AFの中点をGとする。AGの長さは(√3+1)/2、Gを中心に半径AGの円を描き、辺BCを伸ばした線と交差する点をH、Iとする。EHの長さが3の4乗根(正方形の一辺の長さ)になる。Eを中心に半径EHの円を描き、辺ACとの交点をJとする。JからBE、CEと同じ「1」の長さをとった点をKとする。Kから線分JEに対し垂線を引く。辺ABの中点をDとし、線分JEに対し垂線を引く。これで完成。

　D、E、Kの三箇所をハト目(自由に動く蝶つがいのようなもの）で繋げると、以下のFlashのような「デュードニーのカンタベリーパズル」になる。

竹内薫センセの「美しき蘊蓄(うんちく)の時間」(ちょっと、いい話)

　1833年、ボヤイとゲルウィーンという数学者によって「等積多角形の分割合同の定理」が出されていたが、実際にこれを確かめるのは容易ではなかったようだ。
≪メモ≫
ボヤイ・ファルカシュ(1775～1856)ハンガリーの数学者にして詩人。Wikipediaによると、ガウスの友人だったそうな。
ボヤイの定理：面積の等しい二つの多角形A,Bが存在したとき、Aを有限回分割し組み直すことで、Bと合同な図形を作ることが出来る（Wikipedia)

　ヘンリー・アーネスト・デュードニー(1857～1930)は、英国生まれ。お爺さんは、羊飼いから校長先生になったそうだが、家は裕福ではなく、13歳で公務員になる。しかし、後に結婚したアリス・ホイッティアは、ベストセラー作家で、生計は奥さんに頼っていたという話も。デュードニーは、ストランド・マガジン誌上で多くの作品を発表し、パズル作品集や意味のある単語を使用した覆面算など、パズル作家として名を馳せる。アーサー・コナン・ドイルとも交流があり、アメリカのパズル王、サム・ロイドとはケンカ別れをしたという逸話がある。1905年には、王立協会で、このパズルをデモンストレーションし、列席した数学者たちを驚かせたそうだ。

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