■コマネチ大学数学科81講:展開図

 ロス疑惑の三浦和義氏がサイパンで逮捕され、まさかの展開ずら「たけしのコマネチ大学数学科」第81講は「展開図」。

【遊び方】点Aと点Bは、立方体の頂点のどこに置いてもかまわないが、対角にあってはならない。立方体の展開図は、回転、鏡像を除くと、11種類ある。画面右下にある上下の矢印で展開図を選び、展開図上をドラッグ&ドロップで線を引く。立方体のすべての面を通り、最短の距離になればいい。

 上のFlashでは、初めから最短距離の線が「直線」であると決めつけているが、本当は曲線でもいい。コマ大生は、立方体の各面にゴム印を貼り付け、それを紙の上で回転させ、数種類の展開図を作るところから始める。それぞれの展開図が完成したら、その上にヒモを這わせ、ヒモの長さがもっとも短いものを正解とする。

 コマ大生の検証VTRを注視していたマス北野、カメラワークで映さないようにしていた展開図にあたりをつけ、巧みな誘導尋問でコマ大生から、情報を引き出そうとする。そんなわけで、コマ大生チームとマス北野&ポヌさんチームの答えは、まったく同じになった。

20080229_02

 線の終わりが「クルッ」と回っているところがポイント。これによって、すべての面を通過したことになる。この「クルッ」は、いくらでも小さくできるので、結果的に直線で結んだ距離に限りなく近づく。

20080229_03

 木村美紀さん、松江由紀子さんの東大生チームは、この「クルッ」を2箇所で使い、図のような経路を考えた。どちらの解答が最短距離か微妙なところだが、下図のようにしてみると、計算をしなくとも明らかだ。

20080229_04

 で、コマネチ・フィールズ賞は、マス北野&ポヌさんチームが獲得したのだけれど、コマ大数学研究会を応援している私としては、ちょっと納得がいかない^^; これまで、何度となく過酷な検証を体験してきた、コマ大生たちは、このところ確実に数学的センスが体に浸み込んできたように感じる。

 竹内薫センセの「美しき数学の時間」では、正多面体の展開図の数と、アルブレヒト・デューラー(1471~1528)が紹介された。

■Wikipedia「アルブレヒト・デューラー」
掲載されている銅版画「メランコリア」(1514年に発表)を拡大すると、魔方陣の中に「15」と「14」という数字がなんとか見て取ることができる。

 竹内薫センセの講義によると、デューラーは、画家、版画家であるが、同時に数学者でもあり、初のドイツ語による数学書を出版した(1525年)。それ以前はラテン語の数学書しかなかったのね。デューラーは「新しい芸術は科学、とりわけ数学を基にしなくてはならない」と語っていたそうな。

 そこで、思い出したのが、秋山仁センセのNHK高校講座「数学基礎:芸術と数学」の話。立方体を積み上げれば、隙間なく空間を充填することができる。それだけでなく、立方体の展開図も平面を埋め尽くすことができる。秋山仁センセによると「ダブル充填立体」ということだ。また、4つの面がすべて正三角形の正四面体をコマ大数学研究会がしたように、紙の上で回転させていくと、紙を埋め尽くすことができる。正四面体も「ダブル充填立体」なんだね。

 辺と辺のつながりを間違わないように、つなげて貼り合わせると、上のFlashのような、ヘンな図形になるわけ。これを型紙にして、複製を何枚か作る。こんな奇妙な形をしていてもタイル張りの要領で並べていけば、あら不思議、平面を充填できるのだ。

≪今回制作したFlashのダウンロード≫
comaneci81.zip


“■コマネチ大学数学科81講:展開図” への1件の返信

  1. コマネチ大学 #80

    コマネチ大学 #80
    たけしのコマネチ大学数学科#80  2008年2月28日 深夜OA
     
     
    今回のテーマは、
    「展開図」
     
     
    【定番本】
    コマ大数学科
    特別集中講座
    ビートたけし
    ¥1,000
    【定番本】
    逆転発想力パズル
    脳が目覚める
    竹内薫 中村亨
    ¥1,…

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です