■コマネチ大学数学科77講：ラグランジュ

　「ラグランジュ」と言って思いつくのは、地球と月との間の引力がゼロになる「ラグランジュ・ポイント」くらい。でも、この「ラグランジュ」かなり便利なものらしい「たけしのコマネチ大学数学科77講」。

問題：図のような円柱と円錐を組み合わせた「エンピツ型」の立体がある。円錐の母線(底面の外周の任意の点と頂点を結ぶ線）は「3」である。この立体の体積が一定としたとき、最小の表面積になるような、底面の円の半径「X」を求めよ。

※スライドバーをドラッグして「X」の値を変更し、表面積を最小にする。

　コマ大数学研究会は、それぞれが、同じ量の粘土で自分が最小の表面積になると思う「エンピツ型」の立体を作る。細長いものから、寸胴のように太いものまで、さまざま。出来上がった立体の表面に紙を貼り付け、その紙の面積が一番少なかったものを解答とする。

　今回の問題のポイントは、一定の体積というだけで、その値がわからないこと。体積がわからなくても、一定という条件だけで答えが出るらしいのだが、それだと難しいので、竹内薫センセから、体積は「61.3」というヒントが出る。

　マス北野とポヌさんコンビ、木村美紀さんと松江由紀子さんの東大生チームは、連立方程式を立て、それを解こうとするが、「74講のピタゴラス」の回と同じように、計算が大変なことに……。

　コマ大生の答えは「2.35」、ポヌさんは、微分して「0.64」という答え。マス北野は「4.4」という答えだが、どう考えても「X」は「3」以下。東大生は、「X」の値は正（0<X<3)のあたりをつけ、いろいろな値を「X」に代入した結果、その中で最小だった「2.8」という答え。

　ここで、体積と表面積の求め方を確認しておこう。

■体積

※2月10日追記：Yukiさんの指摘により、図の誤りを修正。

■表面積

竹内薫センセの「体積は61.3」というヒントを使えば、「X」だけの式にすることができる。

　この式に「X」の値を少しづつ変化させて代入すれば、「エクセル」でグラフを描くことができる。

　だいたい、2.2～2.3の間で表面積が最も小さくなることが視覚的にわかるよね。しかし、微分して最小の表面積のときの「X」を求めようとすると、大変なようだ。私は、未だに微分積分がよくわからないので、偏微分などと言われても偏頭痛がしてくる；；　竹内薫センセの「美しき数学の時間」によると、このように計算が大変なとき、「ラグランジュ未定乗数法」を使うと、スッキリ解けるらしい。以下は、わけがわからないまま、番組内で竹内薫センセが解説に使用したホワイトボードの丸写し＾＾；

■ラグランジュ未定乗数法

※2月10日追記：Yukiさんの指摘により、図の誤りを修正。

　というわけで、最小の表面積になるXの値は「√5」が正解。コマ大生がもっとも近い答えだったので、コマネチ・フィールス賞を獲得した。体積がわからなくても、答えが出ちゃうというのがスゴイぞ「ラグランジュ未定乗数法」。それにしても、さっぱり、わからない；；

≪今回制作したFlashのダウンロード≫
comaneci77.zip
※Flash8が必要

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